Метод наименьших квадратов и его применение для анализа результатов экспериментальных зависимостей

06.04.2025 | Категория: Учебные материалы

13. Метод наименьших квадратов и его применение для анализа результатов экспериментальных зависимостей

В предыдущих параграфах рассмотрены измерения некоторой величины при неизменных условиях измерения. Однако часто возникают задачи, в которых требуется получить экспериментальную зависимость между некоторыми величинами. Примерами таких задач является исследование зависимости температуры твердого тела от времени при его нагревании или охлаждении, исследование зависимости пути, пройденного телом при равноускоренном движении, от времени, исследование зависимости мощности электрического тока от величины силы тока и другие. При решении таких задач, чаще всего, строятся графики зависимостей. При этом каждая точка графика наносится с учетом погрешностей. Однако главной задачей таких исследований является получение аналитической функциональной зависимости между величинами, так как она позволяет вычислить количественные характеристики искомой закономерности. Одним из методов получения такой аналитической зависимости является метод наименьших квадратов.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в следующем. Пусть производится измерение некоторой величины . Эта величина зависит от другой величины . Задача состоит в том, чтобы построить график этой зависимости и получить ее аналитическое выражение.

Будем проводить измерения. При этом получим значения величины , соответствующие значениям аргумента . На графике результаты этих измерений будут представлены в виде точек с координатами , и по этим точкам можно определить эмпирическую зависимость от переменной .

Измеренные значения будет в общем случае смещены относительно истинной искомой кривой как в сторону больших, так и в сторону меньших значений, вследствие наличия погрешностей измерений.

Дальнейшая задача состоит в том, чтобы по полученным экспериментальным точкам провести кривую, которая проходила бы как можно ближе к функциональной зависимости . Из теории вероятностей следует, что наилучшим приближением будет такая кривая или прямая линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до кривой будет минимальной. Это значит, что функция , определяемая по формуле (13.1), должна принимать минимальные значения.

. (13.1)

Теперь возникает вопрос, от каких переменных зависит эта функция? Ясно, что она зависит от параметров, которыми определяется аналитическая функция . Обозначим эти параметры буквами . Это могут быть параметры линейной или какой-либо другой зависимости. Тогда имеем

. (13.2)

Наша задача состоит в том, чтобы найти параметры функциональной зависимости, то есть параметры , которые соответствуют условию (13.2). Для решения этой задачи воспользуемся условием экстремума некоторой функции. Согласно этому условию функция принимает экстремальное значение при условии, что ее первые производные по указанным параметрам равняются нулю. Применение этого условия к функции (13.2) позволяет получить следующую систему уравнений:

. (13.3)

Система (13.3) содержит столько же уравнений, сколько параметров определяют искомую функцию. Решить эту систему в общем виде нельзя. Для ее решения необходимо задавать конкретный вид функции . Эта функция может быть задана в виде полинома второй степени, в виде линейной зависимости и т.д.

Наиболее наглядным случаем является представление зависимости в виде линейной зависимости, так как ей соответствует график в виде прямой линии, что легко позволяет определить правильность теории. Кроме того, во многих более сложных случаях функциональной зависимости можно использовать процедуру линеаризации. Эта процедура состоит в том, что с помощью обоснованных математических действий функция преобразуется к виду, который позволяет представлять ее в виде линейной зависимости . Ниже в таблице 9 приведены наиболее распространенные примеры линеаризации сложных функций.

Таблица №9

Способы линеаризации зависимостей

Рассмотрим частный случай, при котором искомая функция задается как линейная функция . Тогда нам по измеренным значениям и надо найти значения и . Для этого продифференцируем функцию по параметрам и . При этом получаем:

или . (13.4)

или . (13.5)

Подставляем эти результаты в уравнения системы (13.3). При этом получим систему из двух уравнений:

. (13.6)

Раскроем скобки и произведем суммирование:

. (13.7)

Все величины в этой системе, кроме значений и , известны. Поэтому если подставить значения и , то можно определить неизвестные величины и .

Теперь по известному аналитическому выражению можно будет определить количественные характеристики эмпирической зависимости. Как правило, анализ начинается с построения графика полученной линейной зависимости. При этом график этой функции изображается на рисунке, на котором изображены отдельные точки, полученные в результате измерений.

Аналогично можно искомую функцию представить в виде квадратного трехчлена . В этом случае система будет содержать три уравнения, из которых определяются параметры . Этот случай рассмотрен в учебниках по теории вероятностей, например, в учебнике . Рассмотрим примеры применения метода наименьших квадратов. Для примера найдем аналитическое выражение зависимости температуры жидкого металла от времени при его охлаждении. Расплавленный свинец помещен в стальную кювету, его температура измеряется с помощью температурного датчика. Будем измерять температуру жидкого металла от времени, измеряя время секундомером. Затем проведем обработку полученных данных методом наименьших квадратов.

Зависимость температуры жидкого металла от времени при охлаждении представим в виде линейной функции . Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти значения и . Результаты измерений и необходимых вычислений представлены в таблице 9.

Подставим полученные значения в систему (13.7) и получим:

. (13.8)

Решая эту систему, получаем . Таким образом, искомая зависимость имеет вид:

. (13.9)

Таблица 9

Результаты измерений и вычислений по изучению зависимости температуры охлаждения жидкого металла от времени

Продолжение таблицы 9

Рис.3. Зависимость температуры от времени при остывании жидкого металла

На рисунке изобразим экспериментальные точки и график полученной функции, а затем проанализируем полученный результат.

На рисунке 3 показаны эмпирические точки с учетом погрешности измерения температуры. Погрешность измерения времени не указана. Это вполне оправдано, так как измерения температуры проводились согласно описанию опыта через 15 секунд, что можно сделать с большой степенью точности. Степень точности измерения времени определяется ценой деления секундомера, которая составляет 0,2 секунды. Ясно, что изобразить такую величину на данном графике невозможно.

На этом же рисунке показан график линейной зависимости, определяемой по формуле (13.9). Как видно, почти все эмпирические точки лежат на найденной методом наименьших квадратов прямой линии. Плохо ложатся на прямую линию точки начала наблюдения. Это можно объяснить тем, что начало наблюдения, совпадает с моментом отключения источника тока, который нагревал металл. Ясно, что еще некоторое время он отдавал свое тепло металлу, и поэтому охлаждение происходило медленнее, чем в дальнейшем установившемся процессе.

В следующем примере рассмотрим проверку зависимости пути от времени при равноускоренном движении. При этом будем рассматривать равноускоренное движение без начальной скорости. Равноускоренное движение будем изучать с помощью машины Атвуда. Эта установка позволяет измерять путь, пройденный телом, и время, за которое этот путь пройден. Результаты измерений запишем в таблицу 10.

Таблица 10

Результаты измерений зависимости пути от времени при равноускоренном движении на машине Атвуда

Если построить график зависимости , то получим некоторую кривую линию (рис.4) , аналитический вид которой установить сложно. Это не позволяет осуществить проверку закона пути для равноускоренного движения. Однако если построить график функции , то график будет иметь вид прямой линии, это указывает на то, что при равноускоренном движении путь пропорционален квадрату времени, что соответствует теоретическим представлениям, если начальная скорость тела равна нулю. Этот график позволяет осуществить количественную проверку указанного закона равноускоренного движения. По тангенсу угла наклона прямой линии можно вычислить ускорение, с которым движется тело. Кроме того, ускорение можно рассчитать, используя второй закон Ньютона для тел машины Атвуда. Если значения этих ускорений будут совпадать с хорошей степенью точности, то это будет также подтверждением закона пути для равноускоренного движения.

Однако более точная количественная проверка может быть получена, если экспериментальные данные обработать методом наименьших квадратов. Для решения этой задачи зададим путь формулой , где . Теперь используя расчеты, приведенные в таблице 10, запишем систему линейный уравнений (13.10) и из ее решения вычислим и .

. (13.10)

. (13.11)

Так как расстояние измеряется с точностью до 1 см, то необходимо округлить до нуля.

Теоретическое выражение зависимости пути от времени при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью имеет вид:

. (13.12)

Сравнивая это выражение с формулой , где , можно сделать вывод, что или . Таким образом, ускорение, с которым движется груз в нашем исследовании равно .

Применяя второй закон Ньютона для описания движения тел на машине Атвуда, можно вывести следующую формулу для ускорения, с которым движутся грузы:

, (13.13)

где - массы грузов, причем , а - ускорение свободного падения. В нашем опыте г, г, а ускорение свободного падения берется из таблиц и оно равно 9,81 м/с2. Теперь вычислим ускорение по формуле (13.13): м/с2. Это значение достаточно хорошо согласуется со значением ускорения, полученным по методу наименьших квадратов.

Рис.4. График зависимости пути от времени при равноускоренном движении тела

На рисунках 4 и 5 экспериментальные точки нанесены без учета погрешностей. Это сделано для того, чтобы обеспечить наглядность графиков.

Рис.5. График зависимости пути от квадрата времени движения тела при равноускоренном движении